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FTD Resolve ENEM O dono de uma embarcação deve partir do ponto P e chegar […]
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O dono de uma embarcação deve partir do ponto P e chegar […]

Questão 164

Cinza 166

Azul 164

Amarelo 156

Verde 163

O dono de uma embarcação deve partir do ponto P e chegar ao ponto R por meio de dois deslocamentos lineares e navegando a uma velocidade constante. Essa viagem será feita durante a noite, e como ele dispõe somente de uma bússola e de um relógio, planejou sua rota da seguinte forma:

1º – partir do ponto P na direção 110 e navegar por 4 horas, alcançando um ponto Q;
2º – partir do ponto Q na direção 90 e navegar por 2 horas, alcançando o ponto de destino R.

No entanto, ao direcionar o barco para o primeiro deslocamento, o fez na direção 340, em vez de 110. Com isso, realizou os seguintes deslocamentos:

1º – partiu do ponto P na direção 340 e navegou por 4 horas, alcançando um ponto S;
2º – partiu do ponto S na direção 90 e navegou por 2 horas, alcançando o ponto T.

A figura apresenta a bússola, a rota planejada e a rota executada.

Bússola graduada de 0 a 360 graus e, abaixo, o esquema das rotas: a rota planejada P?Q?R (em laranja) e a rota executada P?S?T (em verde), com a rota corretiva T?R tracejada.

O dono da embarcação só percebeu o equívoco ao chegar ao ponto T. Com isso, agora ele precisa definir a direção e o tempo de navegação que lhe permita, partindo do ponto T, chegar ao ponto de destino R por meio de uma rota retilínea.

Considere 0,64 como aproximação para cos 50°.

A direção e o tempo aproximado de navegação que o dono da embarcação deve utilizar são, respectivamente,

A

135 e 7 horas e 15 minutos.

B

45 e 7 horas e 15 minutos.

C

135 e 12 horas.

D

135 e 6 horas.

E

45 e 6 horas.

Já tentou resolver?

Selecione uma alternativa acima e depois confira a resolução comentada.

Gabarito:
A

Resolução comentada

O pentágono $PQRTS$ tem ângulos internos que podem ser deduzidos pelas informações do enunciado. Ao realizar os cálculos, encontra-se:
$$QPS = 130^\circ, PST = 70^\circ, RQP = 160^\circ$$
Traçando a diagonal $SQ$, formam-se dois triângulos:
  • Triângulo $PQS$, isósceles, com ângulos agudos de 25°.
  • Paralelogramo $RQST$, com ângulos internos de 45° e 135°.
Como a bússola marca 0° no Norte e o barco vinha na direção $ST$ (Leste = 90°), o giro de 45° no sentido horário corresponde à direção:
$$90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$$
Agora, para calcular o tempo, aplica-se o teorema dos cossenos no triângulo $PQS$:
$$QS^2 = PS^2 + PQ^2 - 2 \cdot PS \cdot PQ \cdot \cos(130^\circ)$$
Sabendo que $PS = PQ = 4$, tem-se:
$$QS^2 = 16 + 16 - 32 \cdot \cos(130^\circ)$$
Como $\cos(130^\circ) = -\cos(50^\circ)$, substitui-se:
$$QS^2 = 32 + 32 \cdot 0,64 = 32(1 + 0,64) = 32 \cdot 1,64 \approx 52,48$$
$$QS \approx \sqrt{52,48} \approx 7,2$$
Como cada unidade equivale a 1 hora, o tempo é aproximadamente:
$$7,2 \text{ h} \approx 7 \text{ h e } 12 \text{ min}$$

Resolução em vídeo

Detalhes

ProvaENEM
Ano2025
ÁreaMatemática e suas tecnologias
DisciplinaMatemática
TemaGeometria
TópicoGeometria plana
Lei dos cossenos, Trigonometria

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