Resolução comentada:
A região plana retangular tem lados que medem $L$ m e $C$ m. Logo, a medida da área é $L \cdot C \text{ m}^2$.
A expressão que representa o gasto $G$ com as telas é dada por:
$$G = 20 \cdot 2 \cdot L + 15 \cdot 2 \cdot C = 40L + 30C$$
O fazendeiro deseja que o gasto $G$ seja menor ou igual a R$ 6.000,00:
$$6\ 000 \leq 40L + 30C$$
Ele também quer que a área da região seja máxima. Para isso, supõe-se que o gasto com as telas será máximo, igual a R$ 6.000,00. Assim:
$$6\ 000 = 40L + 30C \Rightarrow$$
$$\Rightarrow L = 150 - \frac{3}{4}C$$
Substituindo na expressão da área, tem-se uma parábola:
$$150 - \frac{3}{4}C \cdot C = 150C - \frac{3}{4}C^2$$
Como o coeficiente que acompanha $C^2$ é negativo, a parábola tem concavidade virada para baixo e, portanto, tem um máximo. Dessa forma, para encontrar o valor de $C$ que maximize a área, utiliza-se a expressão
$C = -\frac{b}{2a}$, abscissa do vértice da parábola,
ponto em que a medida da área é máxima. Então:
$$C = \frac{-150}{2 \cdot -\frac{3}{4}} = \frac{300}{3} = 100$$
Logo, $L = 150 - \frac{3}{4} \cdot 100 = 150 - 75 = 75$.
O maior lado do galinheiro medirá 100 metros.
