Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de u […]

Questão 136

Cinza 166

Azul 136

Amarelo 164

Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente, esculpe um cone reto com 36 cm de altura e diâmetro da base medindo 18 cm. Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede 6 cm, obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura.

Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reto, de diâmetro 6 cm, cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base a base.

O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a 0,6 por centímetro cúbico de volume. Utilize 3 como aproximação para $pi$.

Qual é a massa, em grama, dessa escultura?

1 198,8

1 296,0

1 360,8

4 665,6

4 860,0

Gabarito:

Resolução comentada

Analisando a imagem, tem-se que a base do cone menor (6 cm) corresponde à terça parte da do cone maior (18 cm). Sendo assim, a altura do cone do topo será um terço da altura total, correspondendo a 12 cm.
Cone com 36 cm de altura e 18 cm de diâmetro da base; no topo, o cone menor com 6 cm de diâmetro da base e altura de 12 cm.
Para obter a peça, é necessário subtrair o volume do cone menor do volume do cone maior. Logo:
$V_{maior} = \dfrac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3} \qquad V_{maior} = \dfrac{\cancel{\pi} \cdot 9^2 \cdot 36}{\cancel{3}} = 81 \cdot 36 = 2\,916\ \text{cm}^3$
Enquanto o volume do cone menor será:
$V_{menor} = \dfrac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3} \qquad V_{menor} = \dfrac{\cancel{\pi} \cdot 3^2 \cdot 12}{\cancel{3}} = 9 \cdot 12 = 108\ \text{cm}^3$
Encontrando, agora, o volume do cilindro interno à peça, tem-se:
$V_{cilindro} = \pi \cdot r^2 \cdot h = 3 \cdot 3^2 \cdot 24 = 27 \cdot 24 = 648\ \text{cm}^3$
Com a medida de todos os volumes, pode-se encontrar o valor do volume da escultura, que será:
$V_{maior} - V_{menor} - V_{cilindro} = 2\,916 - 108 - 648 = 2\,160\ \text{cm}^3$
Como se tem 0,6 g por centímetro cúbico, esse volume, em massa, corresponde a:
$2\,160 \cdot 0{,}6 = 1\,296\ \text{g}$