Um jardineiro dispõe de k metros lineares de cerca baix […]

A cerca será colocada em volta do jardim. Logo, a medida do comprimento da cerca equivalerá à medida do comprimento do perímetro do jardim. Assim, esse comprimento é de $k$ m.

Se o jardim tiver a forma de um triângulo equilátero, seus lados deverão medir $\dfrac{k}{3}$ m. A área $A_1$ do jardim medirá, então, em m², pela fórmula da área do triângulo equilátero, $\dfrac{\ell^{2}\sqrt{3}}{4}$, em que $\ell$ é a medida do lado:

$$A_1 = \dfrac{\left(\dfrac{k}{3}\right)^{2}\sqrt{3}}{4} = \dfrac{k^{2}\sqrt{3}}{36}$$

Se o jardim tiver a forma de um quadrado, seus lados deverão medir $\dfrac{k}{4}$ m. A área $A_2$ do jardim medirá, então, em m², pela fórmula da área do quadrado, $\ell^{2}$, em que $\ell$ é a medida do lado:

$$A_2 = \left(\dfrac{k}{4}\right)^{2} = \dfrac{k^{2}}{16}$$

Se o jardim tiver a forma de um hexágono regular, seus lados deverão medir $\dfrac{k}{6}$ m. A área $A_3$ do jardim medirá, então, em m², pela fórmula da área do hexágono regular, $6 \cdot \dfrac{\ell^{2}\sqrt{3}}{4}$, em que $\ell$ é a medida do lado:

$$A_3 = 6 \cdot \dfrac{\left(\dfrac{k}{6}\right)^{2}\sqrt{3}}{4} = \dfrac{k^{2}\sqrt{3}}{24}$$

Como $\operatorname{mmc}(36, 16, 24) = 144$, tem-se:

$$A_1 = \dfrac{4\sqrt{3} \cdot k^{2}}{144} \qquad A_2 = \dfrac{9k^{2}}{144} \qquad A_3 = \dfrac{6\sqrt{3} \cdot k^{2}}{144}$$

Como $6\sqrt{3} > 4\sqrt{3}$, tem-se $A_3 > A_1$.

Como $6\sqrt{3} \approx 10{,}39 > 9$, tem-se $A_3 > A_2$.

Logo, o jardim deve ter a forma de um hexágono regular.