Primeiramente, calculam-se as medidas dos ângulos $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ e $\theta$ das polias na imagem a seguir.
Como $CDBA$ é um quadrilátero, então a soma das medidas de seus ângulos internos é $360°$. Como os ângulos em $C$ e $D$ são retos, então $\alpha + \beta = 180°$. Analogamente, $\gamma + \theta = 180°$.
Como os lados $AC$ e $AF$ têm a mesma medida que o raio $r$ e como $CD$ e $EF$ medem 15 cm, então os triângulos $ACD$ e $AFE$ são congruentes, já que apresentam ângulos de medidas iguais: o ângulo reto em $C$ e $F$. Logo, os ângulos $C\hat{A}D$ e $F\hat{A}E$ são congruentes, assim como os lados $AD$ e $AE$.
Observando os triângulos $ABD$ e $ABE$, sabe-se que $AD$ e $AE$ são congruentes. O lado $AB$ é comum aos dois triângulos. Os lados $BD$ e $BE$ têm a mesma medida que o raio $R$, então são congruentes. Por critério de semelhança LLL e por terem lados com medidas iguais, os triângulos $ABD$ e $ABE$ são congruentes. Logo, $\beta = \gamma$ e $\alpha = \theta$.
Tem-se:
$$\alpha + \theta + 150° = 360° \Rightarrow \alpha + \theta = 210°$$
Sabe-se que $\alpha + \beta = 180° \Rightarrow \alpha = 180° - \beta$ e $\gamma + \theta = 180° \Rightarrow \theta = 180° - \gamma$.
Logo:
$$\alpha + \theta = 210° \Rightarrow (180° - \beta) + (180° - \gamma) = 210° \Rightarrow \beta + \gamma = 150°$$
Então, a medida do ângulo correspondente ao setor circular em que a correia está em contato na polia maior é $360° - 150° = 210°$.
Finalmente, para calcular a medida do comprimento da correia, é necessário somar as medidas dos comprimentos das partes que não ficam em contato (15 cm e 15 cm) e das partes que ficam em contato com as polias.
As medidas das partes que ficam em contato com as polias são proporcionais aos ângulos dos setores circulares que as compreendem, isto é, $150°$ na polia menor e $210°$ na polia maior.
Assim, calculam-se as medidas dos comprimentos das circunferências das polias e fazem-se as proporções necessárias:
$$\text{Polia menor: } \dfrac{150}{360} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r = \dfrac{150}{360} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = \dfrac{150}{360} \cdot 24 = 10$$
$$\text{Polia maior: } \dfrac{210}{360} \cdot 2 \cdot \pi \cdot R = \dfrac{210}{360} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 8 = \dfrac{210}{360} \cdot 48 = 28$$
Logo, a medida do comprimento da correia é $15 + 15 + 10 + 28 = 68$ cm.
